円錐曲線（conic curve）の書き方

円錐曲線とは

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

　円錐曲線（えんすいきょくせん、conic curve, conic section; 円錐断面）とは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面としてえられる曲線群の総称である。

数式表現

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円

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$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=a\sin t\end{array}\end{array}\end{array}$$

楕円

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$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}\end{array}\end{array}$$

放物線

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$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\displaystyle y=a{x}^2+bx+c}\end{array}$$

双曲線

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$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=\pm a\cosh t\\ y=b\sinh t\end{array}\end{array}\end{array}$$

書き方

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　R言語での書き方は以下のとおり。

円

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　条件： $a=1$ の時

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t=seq(0, 2*pi, length=180) a=1 x=a*cos(t) y=a*sin(t) svg("archimedes.svg", width=5, height=5) plot(x, y, type="l", asp=1, lwd=2, col=2) abline(h=0) abline(v=0) dev.off()

楕円

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　条件： $a=3,b=2$ の時

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t=seq(0, 2*pi, length=180) a=3 b=2 x=a*cos(t) y=b*sin(t) svg("ellipse.svg", width=5, height=5) plot(x, y, type="l", asp=1, lwd=2, col=2) abline(h=0) abline(v=0) dev.off()

放物線

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　条件： $a=1,b=0,c=0$ の時

1 2 3 4 5 6 7 8

a=1 b=0 c=0 svg("parabola.svg", width=5, height=5) curve(a*x^2+b*x+c, -2, 2, asp=1, lwd=2, col=2) abline(h=0) abline(v=0) dev.off()

双曲線

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　条件： $a=1,b=1$ の時

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a=1, b=1のとき t=seq(-pi, pi, length=300) a=b=1 x=a*cosh(t) y=b*sinh(t) svg("hyperbola.svg", width=5, height=5) plot( x, y, type="l", asp=1, lwd=2, col=2, xlim=c(-15,15), ylim=c(-15,15), ann=F) par(new=T) plot(-x, y, type="l", asp=1, lwd=2, col=2, xlim=c(-15,15), ylim=c(-15,15)) abline(h=0) abline(v=0) dev.off()

トラクトリックス（tractrix）の書き方

トラクトリックスとは

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

　トラクトリックス (tractrix) は直交座標の方程式 $\text{(1)}$ によって表される曲線である。

数式表現

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$$\text{begin{eqnarray} displaystyle x \&=\& log frac{a pm sqrt {a^2 - y^2}}{y} mp sqrt {a^2 - y^2} displaystyle \&=\& a cosh^{-1} (frac{a}{y}) mp sqrt {a^2 - y^2} tag{1} label{1} end{eqnarray}}$$

書き方

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　R言語での書き方は以下のとおり。

　条件： $a=1$ の時

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y=seq(0, 1, length=300) a=1 x1=a*log((a+sqrt(a^2-y^2))/y)-sqrt(a^2-y^2) x2=a*log((a-sqrt(a^2-y^2))/y)+sqrt(a^2-y^2) svg("tractrix.svg", width=5, height=5) plot(x1, y, type="l", asp=1, lwd=2, col=2, xlim=c(-2, 2), ylim=c(-2, 2), ann=F) par(new=T) plot(x2, y, type="l", asp=1, lwd=2, col=2, xlim=c(-2, 2), ylim=c(-2, 2), xlab="", ylab="") abline(h=0) abline(v=0) dev.off()