カッシーニの卵形線（Cassinian oval）の書き方

カッシーニの卵形線とは

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　カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語: Cassinian oval）は、直交座標の方程式 \eqref{1} によって表される四次曲線である。

　x軸、y軸に対して線対称である。

• \(a \lt b\) のとき2つのまるいループに分かれる
• \(a = b\) のときレムニスケートとなる
• \(a \gt b\) のとき1つのループからなる

　Wikipediaより引用

数式表現

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\[ \displaystyle (x^2+y^2)^2-2b^2(x^2-y^2)-(a^4-b^4)=0 \tag{1} \label{1} \]

書き方

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　R言語での書き方は以下のとおり。

　条件：\(a=1, b=0.9\) のとき

x=y=seq(-2, 2, 0.05)
f1=function(x, y, a, b) (x^2+y^2)^2-2*b^2*(x^2-y^2)-(a^4-b^4)
z=outer(x, y, f1, a=1, b=0.9)
svg("cassinian1.svg", width=5, height=5)
contour(x, y, z, drawlabels=F, levels=0, asp=1, lwd=2, col=2)
abline(h=0)
abline(v=0)
dev.off()

　条件：\(a=1, b=1\) のとき

x=y=seq(-2, 2, 0.01)
f1=function(x, y, a, b) (x^2+y^2)^2-2*b^2*(x^2-y^2)-(a^4-b^4)
z=outer(x, y, f1, a=1, b=1)
svg("cassinian2.svg", width=5, height=5)
contour(x, y, z, drawlabels=F, levels=0, asp=1, lwd=2, col=2)
abline(h=0)
abline(v=0)
dev.off()

　条件：\(a=1, b=1.1\) のとき

x=y=seq(-2, 2, 0.05)
f1=function(x, y, a, b) (x^2+y^2)^2-2*b^2*(x^2-y^2)-(a^4-b^4)
z=outer(x, y, f1, a=1, b=1.1)
svg("cassinian3.svg", width=5, height=5)
contour(x, y, z, drawlabels=F, levels=0, asp=1, lwd=2, col=2)
abline(h=0)
abline(v=0)
dev.off()