カッシーニの卵形線（Cassinian oval）の書き方

カッシーニの卵形線とは

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　カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語: Cassinian oval）は、直交座標の方程式 $\text{(1)}$ によって表される四次曲線である。

　x軸、y軸に対して線対称である。

• $a<b$ のとき2つのまるいループに分かれる
• $a=b$ のときレムニスケートとなる
• $a>b$ のとき1つのループからなる

　Wikipediaより引用

数式表現

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$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\displaystyle (x^2+y^2{)}^2-2b^2(x^2-y^2)-(a^4-b^4)=0}\end{array}$$

書き方

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　R言語での書き方は以下のとおり。

　条件：$a=1,b=0.9$ のとき

1 2 3 4 5 6 7 8

x=y=seq(-2, 2, 0.05) f1=function(x, y, a, b) (x^2+y^2)^2-2*b^2*(x^2-y^2)-(a^4-b^4) z=outer(x, y, f1, a=1, b=0.9) svg("cassinian1.svg", width=5, height=5) contour(x, y, z, drawlabels=F, levels=0, asp=1, lwd=2, col=2) abline(h=0) abline(v=0) dev.off()

　条件：$a=1,b=1$ のとき

1 2 3 4 5 6 7 8

x=y=seq(-2, 2, 0.01) f1=function(x, y, a, b) (x^2+y^2)^2-2*b^2*(x^2-y^2)-(a^4-b^4) z=outer(x, y, f1, a=1, b=1) svg("cassinian2.svg", width=5, height=5) contour(x, y, z, drawlabels=F, levels=0, asp=1, lwd=2, col=2) abline(h=0) abline(v=0) dev.off()

　条件：$a=1,b=1.1$ のとき

1 2 3 4 5 6 7 8

x=y=seq(-2, 2, 0.05) f1=function(x, y, a, b) (x^2+y^2)^2-2*b^2*(x^2-y^2)-(a^4-b^4) z=outer(x, y, f1, a=1, b=1.1) svg("cassinian3.svg", width=5, height=5) contour(x, y, z, drawlabels=F, levels=0, asp=1, lwd=2, col=2) abline(h=0) abline(v=0) dev.off()